2 min read

Домашнее задание 1

2023-05-03

Литература для самостоятельной подготовки:

  • Bremaud, P. главы 1-5. Или (менее подробно) Анатольев, глава 1-3.
  • Для подготовки к следующему занятию - Greene, главы 2-3.2.2 включительно или МКП, главы 1-2.3 включительно. Или (чуть сложнее) Анатольев, глава 4.

Решите 6 из 8 заданий по выбору:

Задание 1

Пусть \(X_1,X_2,...,X_n\) - независимые одинаоково распределённые случайные величины с дисперсией 2, \(\bar{X}\) - среднее в \(X_1,...,X_n\). Чему равно среднее квадратическое отклонение \(\bar{X}\)? Напишите код или решите аналитичсески исходя из свойств дисперсии независимых величин.

Задание 2

  • Запрограммируйте пример с доской Гальтона с параметрами \({исходы = \{1, 2,...,12\}, p = 1/2}\).
  • Проведите численный эксперимент с 10000 шариками.
  • Нарисуйте гистограмму получившегося распределения.
  • Опишите, как изменится распределение при \(p = 0.4\).

Задание 3

Закончите формальное доказательство ЗБЧ (сходисость по вероятности) для первого примера из лекции. Укажите произвольный \(\varepsilon\), покажите, что с ростом k ошибка становится меньше \(\varepsilon\).

Задание 4

Вопрос на понимание теории: \(f(x)\) - какое-то дискретное распределение. Какова вероятность, что \(a \leq X \leq b\) в терминах кумулятивной функции распределения?

Задание 5

  • Определите распределение исходных данных о доходах из лекции.
  • Оцените параметры этого распределения.
  • Насколько хорошо теоретическое распределение описывает данные? Воспользуйтесь тестом Колмогорова-Смирнова.
  • Опишите своими словами, как устроен этот тест.

Задание 6

  • Возьмите данные из последнего примера к лекции. Проведите random permutation test для разницы в результатах между вторым и первым тестом по математике.
  • Важно ли всегда пользоваться ЦПТ или зачастую она нужна просто для удобства?

Задание 7

Проводятся выборы президента. Мы знаем, что за кандидата Васю готовы проголосовать 40% населения. Допустим, мы проводим уличный опрос среди 500 случайных прохожих. Какова вероятность, что 400 из них не готовы проголосовать за Васю?

  • Решите аналитически.
  • Решите численными методами.

Задание 8

Возьмите данные о клиентах банка. Самостоятельно сформулируйте гипотезу (не обязательно она должна быть связана с оттоком клиентов, проявите творчество). Проверьте гипотезу любым существующим статистичческим методом. Кратко опишите свои результаты.